terça-feira, janeiro 02, 2007

Sobre o Paradoxo de Russell

Alphonse van Worden - 1750 AD






O paradoxo em tela foi, por assim dizer, descoberto pelo ínclito lógico, matemático e filósofo inglês em 1901, quando este estava a preparar os textos que seriam reunidos em seu Principles of Mathematics (1903). Bertrand Russell considerava então a questão do 'Conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos'. Tal conjunto parece ser um membro de si mesmo se e somente não for um membro de si mesmo. Alguns conjuntos tais como, por exemplo, o conjunto dos relógios de pulso, não são membros de si mesmo; outros conjuntos, tal como o conjunto de todos os 'não-relógios de pulso', são membros de si mesmos, uma vez que o conjunto não é um relógio. Muito bem: vamos chamar de S o 'Conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos': se S não é membro de si mesmo, então, por definição, deverá ser membro de si mesmo; ou então, em outras palavras: há um conjunto S tal que, qualquer que seja x, x é um elemento desse conjunto se, e se somente se, x for um conjunto que não seja elemento de si mesmo.

O significado revolucionário do paradoxo pode ser avaliado ao constatarmos que, à luz dos princípios consagrados pela lógica aristotélica, todas as proposições derivam de uma contradição. Mais ainda: nenhuma prova matemática poderia ser digna de confiança se a Teoria dos Conjuntos, subjacente a todo o arcabouço matemático, abriga uma contradição fundamental. Da mesma maneira: como assegurar a validade de um enunciado científico ou filosófico face à possibilidade de algo possa ser e não ser ao mesmo tempo?

Houve várias tentativas de resolução deste dilema, a começar pela Teoria dos Tipos Lógicos proposta por Russell e Whitehead nos Principia Mathematica (1910 / 1913), que institui uma hierarquia lógica de conjuntos: o primeiro tipo de conjunto seria formado pelos conjuntos integrados apenas por entes particulares; a seguir, procedemos para os conjuntos cujos membros são conjuntos do primeiro tipo, estabelecendo assim o segundo tipo de conjunto; então para os conjuntos cujos membros são conjuntos do segundo tipo, que formariam o terceiro tipo de conjunto, e assim sucessivamente. Destarte, ao lidarmos com afirmações do gênero do paradoxo de Epimênides ("todos os cretenses são mentirosos") ou, numa formulação mais simples, "eu estou mentindo", é preciso estabelecer em que contexto da hierarquia dos tipos lógicos tal assertiva está sendo proferida. Se Epimênides replicar, por exemplo, que está a afirmar uma proposição falsa do primeiro tipo, então tal enunciado, visto referir-se ao conjunto das proposições de primeiro tipo (que são os elementos constitutivos do segundo tipo lógico), será um enunciado de segundo tipo; logo, não é verdade que Epimênides está a sustentar uma proposição falsa do primeiro tipo, mas sim de segundo tipo; de todo modo nosso amigo segue sendo um mentiroso, tão somente operando uma clave acima em termos de hierarquia lógica. Da mesma maneira, se Epimênides alegar que estava a postular uma proposição falsa do tipo 500.000, esta seria um enunciado do tipo 500.001, de modo que ele ainda permaneceria um mentiroso; outrossim, desaparece o contra-argumento empregue para sustentar que ele ao mesmo tempo não é um mentiroso.

Vale dizer que a Teoria dos Tipos também fornece uma solução para outras indagações, tais como, por exemplo, a concernente à existência ou não de um número cardinal máximo; neste caso, a resposta dependerá inteiramente do fato de estarmos ou não nos referindo a um determinando tipo lógico. Dentro de qualquer tipo lógico, existe uma cardinalidade máxima, a saber, o número de objetos daquele tipo, mas sempre seremos capazes de obter um número maior rumando para o próximo tipo; não existe, portanto,no seio de um dado tipo lógico, nenhum número maior do que o que podemos obter mediante a proposição de tipos lógicos mais elevados.

Claro está que tudo isto se tornaria mais rigoroso e preciso mediante o emprego de formalismo lógico, com os quantificadores e operadores adequados.

Por fim, outras possibilidades de resposta ao dilema russelliano estão presentes nas lógicas trivalentes, concebidas mormente por autores da escola polonesa de Lvov e Varsóvia (Lukasiewicz, Lesniewski, Kotarbinski); nas hipóteses metamatemáticas de Alonzo Church; ou então na lógica paraconsistente de Da Costa e Jaskowski.

As mais belas mortes - V

Leonidas I (480 AC)





Malgrado tenha em prístinas centúrias ocorrido, o ático exício de Leonidas I, Rei de Esparta, e de seus insignes guerreiros, por ocasião da Batalha das Termópilas nas Guerras Persas, não poderia deixar de ser aqui mencionado.

No ano 480 AC, Leonidas entrincheirou-se com 300 espartanos, 700 tespianos e 400 tebanos em estreita passagem no desfiladeiro das Termópilas, a fim de deter o avanço do colossal exército do rei persa Xerxes I, cujo efetivo estimava-se em milhares de metuendos armígeros.

Com o fito de intimidar os impávidos helênicos, as hostes persas enviaram um mensageiro com os seguintes dizeres:

- Nossas espadas são tantas que cobrem o Sol!

Ao que Leonidas, altivo e irônico, redargüiu:

- Tanto melhor, combateremos à sombra!

Na seqüencia dos acontecimentos, Leonidas e seus mavortes bateram-se com notável denodo e galhardia, sacrificando suas excelsas vidas ao custo de milhares de baixas para o inimigo.



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D. Rodrigo de Bivar - dito El Cid Campeador (1040-1099)





Não poderia faltar, no esteio desta augusta série, uma menção a D. Rodrigo de Bivar (1040-1099), dito El Cid Campeador, impertérrito paladino da cristandade. A causa mortis que lhe coube - um flechaço no ventre - não foi assim das mais notáveis, admitamos, mas as circunstâncias em torno a seu falecimento de sobejo o são, merecendo portanto nosso preito de admiração.

Estava nosso fádico Mavorte castelhano em combate no cerco a Valencia, quando uma ominosa seta moura feriu-lhe de morte; cônscio de que o derradeiro instante estava próximo, El Cid ordenou a seus soldados que, fenecido, o atassem a Babieca (famígero corcel do senescal cristão), o escudo em guarda, a espada no outro braço para cima erguida. Na vigésima-quarta hora, El Cid emergiu à frente de seu exército, arremetendo contra as metuendas hostes sarracenas; estas, que julgavam morto o ínclito guerreiro, dispersaram-se com grande alvoroço, aos urros e uivos de pavor, propiciando às armas cristãs indelével triunfo!



Ten. Giovanni Drogo

Forte Bastiani

Fronteira Norte - Deserto dos Tártaros