Alphonse van Worden - 1750 AD
O paradoxo em tela foi, por assim dizer, descoberto pelo ínclito lógico, matemático e filósofo inglês em 1901, quando este estava a preparar os textos que seriam reunidos em seu Principles of Mathematics (1903). Bertrand Russell considerava então a questão do 'Conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos'. Tal conjunto parece ser um membro de si mesmo se e somente não for um membro de si mesmo. Alguns conjuntos tais como, por exemplo, o conjunto dos relógios de pulso, não são membros de si mesmo; outros conjuntos, tal como o conjunto de todos os 'não-relógios de pulso', são membros de si mesmos, uma vez que o conjunto não é um relógio. Muito bem: vamos chamar de S o 'Conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos': se S não é membro de si mesmo, então, por definição, deverá ser membro de si mesmo; ou então, em outras palavras: há um conjunto S tal que, qualquer que seja x, x é um elemento desse conjunto se, e se somente se, x for um conjunto que não seja elemento de si mesmo.
O significado revolucionário do paradoxo pode ser avaliado ao constatarmos que, à luz dos princípios consagrados pela lógica aristotélica, todos os sistemas formais são passíveis de contradição lógica. Mais ainda: nenhuma prova matemática poderia ser digna de confiança se a chamada 'Teoria dos Conjuntos ingênua', subjacente a todo o arcabouço matemático, abriga uma contradição fundamental. Da mesma maneira: como assegurar a validade de um enunciado científico ou filosófico face à possibilidade de algo possa ser e não ser ao mesmo tempo?
Houve várias tentativas de resolução deste dilema, a começar pela Teoria dos Tipos Lógicos proposta por Russell e Whitehead nos Principia Mathematica (1910 / 1913), que institui uma hierarquia lógica de conjuntos: o primeiro tipo de conjunto seria formado pelos conjuntos integrados apenas por entes particulares; a seguir, procedemos para os conjuntos cujos membros são conjuntos do primeiro tipo, estabelecendo assim o segundo tipo de conjunto; então para os conjuntos cujos membros são conjuntos do segundo tipo, que formariam o terceiro tipo de conjunto, e assim sucessivamente. Destarte, ao lidarmos com afirmações do gênero do paradoxo de Epimênides ("todos os cretenses são mentirosos") ou, numa formulação mais simples, "eu estou mentindo", é preciso estabelecer em que contexto da hierarquia dos tipos lógicos tal assertiva está sendo proferida. Se Epimênides replicar, por exemplo, que está a afirmar uma proposição falsa do primeiro tipo, então tal enunciado, visto referir-se ao conjunto das proposições de primeiro tipo (que são os elementos constitutivos do segundo tipo lógico), será um enunciado de segundo tipo; logo, não é verdade que Epimênides está a sustentar uma proposição falsa do primeiro tipo, mas sim de segundo tipo; de todo modo nosso amigo segue sendo um mentiroso, tão somente operando uma clave acima em termos de hierarquia lógica. Da mesma maneira, se Epimênides alegar que estava a postular uma proposição falsa do tipo 500.000, esta seria um enunciado do tipo 500.001, de modo que ele ainda permaneceria um mentiroso; outrossim, desaparece o contra-argumento empregue para sustentar que ele ao mesmo tempo não é um mentiroso.
Vale dizer que a Teoria dos Tipos também fornece uma solução para outras indagações, tais como, por exemplo, a concernente à existência ou não de um número cardinal máximo; neste caso, a resposta dependerá inteiramente do fato de estarmos ou não nos referindo a um determinando tipo lógico. Dentro de qualquer tipo lógico, existe uma cardinalidade máxima, a saber, o número de objetos daquele tipo, mas sempre seremos capazes de obter um número maior rumando para o próximo tipo; não existe, portanto,no seio de um dado tipo lógico, nenhum número maior do que o que podemos obter mediante a proposição de tipos lógicos mais elevados.
Claro está que tudo isto se tornaria mais rigoroso e preciso mediante o emprego de formalismo lógico, com os quantificadores e operadores adequados.
Por fim, outras possibilidades de resposta ao dilema russelliano estão presentes nas lógicas trivalentes, concebidas mormente por autores da escola polonesa de Lvov e Varsóvia (Lukasiewicz, Lesniewski, Kotarbinski); nas hipóteses metamatemáticas de Alonzo Church; ou então na lógica paraconsistente de Da Costa e Jaskowski.
O paradoxo em tela foi, por assim dizer, descoberto pelo ínclito lógico, matemático e filósofo inglês em 1901, quando este estava a preparar os textos que seriam reunidos em seu Principles of Mathematics (1903). Bertrand Russell considerava então a questão do 'Conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos'. Tal conjunto parece ser um membro de si mesmo se e somente não for um membro de si mesmo. Alguns conjuntos tais como, por exemplo, o conjunto dos relógios de pulso, não são membros de si mesmo; outros conjuntos, tal como o conjunto de todos os 'não-relógios de pulso', são membros de si mesmos, uma vez que o conjunto não é um relógio. Muito bem: vamos chamar de S o 'Conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos': se S não é membro de si mesmo, então, por definição, deverá ser membro de si mesmo; ou então, em outras palavras: há um conjunto S tal que, qualquer que seja x, x é um elemento desse conjunto se, e se somente se, x for um conjunto que não seja elemento de si mesmo.
O significado revolucionário do paradoxo pode ser avaliado ao constatarmos que, à luz dos princípios consagrados pela lógica aristotélica, todos os sistemas formais são passíveis de contradição lógica. Mais ainda: nenhuma prova matemática poderia ser digna de confiança se a chamada 'Teoria dos Conjuntos ingênua', subjacente a todo o arcabouço matemático, abriga uma contradição fundamental. Da mesma maneira: como assegurar a validade de um enunciado científico ou filosófico face à possibilidade de algo possa ser e não ser ao mesmo tempo?
Houve várias tentativas de resolução deste dilema, a começar pela Teoria dos Tipos Lógicos proposta por Russell e Whitehead nos Principia Mathematica (1910 / 1913), que institui uma hierarquia lógica de conjuntos: o primeiro tipo de conjunto seria formado pelos conjuntos integrados apenas por entes particulares; a seguir, procedemos para os conjuntos cujos membros são conjuntos do primeiro tipo, estabelecendo assim o segundo tipo de conjunto; então para os conjuntos cujos membros são conjuntos do segundo tipo, que formariam o terceiro tipo de conjunto, e assim sucessivamente. Destarte, ao lidarmos com afirmações do gênero do paradoxo de Epimênides ("todos os cretenses são mentirosos") ou, numa formulação mais simples, "eu estou mentindo", é preciso estabelecer em que contexto da hierarquia dos tipos lógicos tal assertiva está sendo proferida. Se Epimênides replicar, por exemplo, que está a afirmar uma proposição falsa do primeiro tipo, então tal enunciado, visto referir-se ao conjunto das proposições de primeiro tipo (que são os elementos constitutivos do segundo tipo lógico), será um enunciado de segundo tipo; logo, não é verdade que Epimênides está a sustentar uma proposição falsa do primeiro tipo, mas sim de segundo tipo; de todo modo nosso amigo segue sendo um mentiroso, tão somente operando uma clave acima em termos de hierarquia lógica. Da mesma maneira, se Epimênides alegar que estava a postular uma proposição falsa do tipo 500.000, esta seria um enunciado do tipo 500.001, de modo que ele ainda permaneceria um mentiroso; outrossim, desaparece o contra-argumento empregue para sustentar que ele ao mesmo tempo não é um mentiroso.
Vale dizer que a Teoria dos Tipos também fornece uma solução para outras indagações, tais como, por exemplo, a concernente à existência ou não de um número cardinal máximo; neste caso, a resposta dependerá inteiramente do fato de estarmos ou não nos referindo a um determinando tipo lógico. Dentro de qualquer tipo lógico, existe uma cardinalidade máxima, a saber, o número de objetos daquele tipo, mas sempre seremos capazes de obter um número maior rumando para o próximo tipo; não existe, portanto,no seio de um dado tipo lógico, nenhum número maior do que o que podemos obter mediante a proposição de tipos lógicos mais elevados.
Claro está que tudo isto se tornaria mais rigoroso e preciso mediante o emprego de formalismo lógico, com os quantificadores e operadores adequados.
Por fim, outras possibilidades de resposta ao dilema russelliano estão presentes nas lógicas trivalentes, concebidas mormente por autores da escola polonesa de Lvov e Varsóvia (Lukasiewicz, Lesniewski, Kotarbinski); nas hipóteses metamatemáticas de Alonzo Church; ou então na lógica paraconsistente de Da Costa e Jaskowski.
