Alphonse van Worden - 1750 AD
A publicação dos GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE (Fundamentos da Geometria / 1899) de David Hilbert (1862-1943) é um ponto de inflexão fundamental na história da geometria e da matemática em geral. Com efeito, o projeto hilbertiano não consiste apenas em ‘corrigir’ as lacunas da tradição euclidiana: trata-se sobretudo de uma radical reformulação da noções de teoria matemática, prova e objeto matemático. Aliás, é lícito afirmar que suas consequências acabam inclusive por transcender o âmbito das matemáticas stricto sensu: redefinindo o estatuto do rigor, da verdade e da objetividade na esfera dos saberes formais como um todo, a influência dos Grundlagen espraia-se para as esferas da filosofia da matemática, da filosofia da lógica e da epistemologia.
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A geometria euclidiana por mais de dois milênios foi considerada o paradigma absoluto do conhecimento necessário e autoevidente; não obstante, estava conceitualmente ancorada na intuição pura do espaço, ponto de partida que permanecia em voga ainda na filosofia de Immanuel Kant, ou seja, no alvorecer do século XIX.
A proposta de Hilbert consiste essencialmente em deslocar o centro de gravidade da geometria, que deixa de ser uma ciência da intuição espacial para se converter numa teoria axiomática formal. Termos como ‘ponto’, ‘reta’ ou ‘plano’ já não possuem um significado intrínseco, funcionando como posições numa estrutura axiomaticamente definida. A célebre observação do matemático teutônico sobre a possibilidade de substituir ‘pontos’ por ‘mesas’, ‘cadeiras’ ou ‘canecas de cerveja’ não é uma simples facécia: é a cabal representação de um princípio metodológico. A matemática independe do conteúdo intuitivo dos objetos, pois exprime relações estruturais especificadas pelos axiomas.
Do ponto de vista filosófico, isto equivale a uma rejeição do intuicionismo geométrico clássico. A validade de uma teoria não se ancora mais em evidências fenomenológicas, mas em relações de consistência formal. O critério de legitimidade epistemológica desloca-se da intuição para a estrutura lógica.
Em última instância, o sistema de Hilbert introduz uma nova concepção de axiomatização. Não se trata apenas de listar proposições evidentes, mas de construir um sistema formal organizado segundo critérios metateóricos explícitos: consistência, independência e completude relativa. É a matemática passando a refletir sobre suas próprias condições de possibilidade. O elemento metateórico é absolutamente crucial: em Hilbert está a semente, a gênese dos processos que darão origem à metamatemática. A geometria torna-se objeto de investigação lógica. Isso antecipa a virada do século XX em direção à formalização sistemática, culminando nos programas logicista, formalista e ulteriormente na teoria dos modelos.
Filosoficamente, esse movimento consolida a ideia de que a matemática é, em larga medida, o estudo de sistemas formais possíveis. A questão ‘o que são os objetos matemáticos?’ dá lugar à indagação ‘quais estruturas são definidas por um conjunto de axiomas?’. O foco desloca-se da ontologia para a estrutura.
Os Grundlagen amiúde são interpretados como uma antecipação de tendências estruturalistas em filosofia da matemática. Em Hilbert a identidade dos objetos matemáticos é puramente relacional: eles atuam como ‘nós’ em uma rede de relações axiomatizadas. O que importa não é a natureza intrínseca dos elementos, mas o papel que desempenham no sistema. Tal perspectiva admite uma forma peculiar de objetividade: a objetividade estrutural. Uma teoria é objetiva não por descrever entidades metafisicamente robustas, rigorosas e bem definidas, mas porque qualquer modelo que satisfaça os axiomas chega aos mesmos resultados. A invariância sob interpretação garante a estabilidade do conteúdo matemático.
Epistemologicamente falando, isso representa uma solução elegante para o arcano problema do realismo matemático platônico. Hilbert não precisa postular um reino rarefeito de objetos ideais: basta assegurar a coerência interna do sistema. A matemática torna-se uma ciência de possibilidades estruturais consistentes. A noção de verdade matemática aproxima-se da satisfatibilidade em modelos, antecipando desenvolvimentos ulteriores da semântica lógica.
Outro desdobramento filosófico central dos Grundlagen é a redefinição da noção de prova. A demonstração deixa de ser compreendida como encadeamento persuasivo de evidências intuitivas e passa a ser vista como derivação formal a partir de regras explícitas. A prova adquire caráter SINTÁTICO. É sem dúvida um passo decisivo na transformação da lógica em disciplina técnica autônoma, deixando de ser tão somente uma ferramenta filosófica geral para erigir-se em teoria formal das inferências. Hilbert é, destarte, um dos artífices do processo de criação da moderna lógica matemática, na qual a distinção entre sintaxe e semântica se tornará fundamental.
O impacto epistemológico da ‘revolução hilbertiana’ é deveras profundo: o conhecimento matemático passa a ser concebido como manipulação rigorosa de símbolos segundo regras finitas. A confiabilidade do saber não depende mais de intuições psicológicas - um ponto de convergência com o projeto de despsicologização da lógica de Gottlob Frege, diga-se de passagem; contudo, Hilbert radicaliza essa autonomia: se para Frege os axiomas deveriam ser proposições verdadeiras sobre objetos com conteúdo fixo, para nosso autor eles são estruturas formais vazias até serem interpretadas. É uma concepção de racionalidade que traça uma linha de demarcação entre validade sintática e verdade semântica, estabelecendo a transparência estrutural do sistema como o novo critério de objetividade. Trata-se, ao fim e ao cabo, de um passo decisivo para a ideia de procedimentos efetivos de formalização do raciocínio, que definirá boa parte da lógica no século XX.
Por fim, há que assinalar que Hilbert coloca em xeque a leitura kantiana da matemática como ciência fundada na intuição a priori. Se a geometria pode ser axiomatizada de maneira puramente formal, seus alicerces não decorrem das estruturas cognitivas do sujeito cognoscente, mas de escolhas axiomáticas convencionais, condicionadas apenas pela exigência de consistência. Essa guinada abre caminho para uma concepção convencionalista da matemática, próxima em espírito a Poincaré, malgrado mais radical em sua formalização; ao mesmo tempo, ela prepara o terreno para debates posteriores com o intuicionismo de Brouwer e o logicismo de Frege e Russell. A obra de Hilbert torna-se o incontornável ponto de referência para todas essas correntes, adotem elas posições convergentes ou divergentes.
O legado filosófico dos Grundlagen é, portanto, dúplice: por um lado consolida um ideal de rigor formal que dominará a matemática ao longo de todo o século XX; por outro, instaura um novo problema filosófico: se a matemática é um sistema formal consistente, como explicar em sua extraordinária aplicabilidade ao mundo empírico? Essa questão pode ser vista como outro relevante epifenômeno do programa hilbertiano.
